Matematika dan Olahraga

Matematika dan Olahraga

Pengantar

     Olahraga di Amerika adalah baik bisnis besar dan demokrasi dalam tindakan. Baseball, sepak bola, dan bola basket telah menjadi tertulis besar, dengan permainan di televisi dan televisi kabel menghasilkan sejumlah besar uang yang masuk ke perekonomian Amerika. Tetapi olahraga juga mekanisme dimana anak-anak Amerika belajar nilai-nilai fair play, usaha keras, dan arti persahabatan.

     Matematika Bulan Kesadaran diciptakan untuk membantu memfokuskan perhatian publik pada sifat matematika dan cara mempengaruhi kehidupan sehari-hari dan mendorong pengembangan alat-alat baru untuk memecahkan masalah bagi individu, bisnis, dan pemerintah. Tahun ini tema untuk Matematika Bulan Kesadaran adalah Matematika dan Olahraga.

    Daerah pertama di mana orang berpikir tentang matematika yang diterapkan dalam ilmu dan rekayasa. Namun matematika memainkan peran besar dalam efisiensi olahraga. Pelatih terus-menerus mencoba untuk menemukan cara untuk mendapatkan hasil maksimal dari atlet mereka, dan kadang-kadang mereka berpaling ke matematika bantuan. Bantuan ini mungkin termasuk urutan batting terbaik bagi tim untuk memaksimalkan jumlah berjalan dapat mencetak atau menyusun sebuah program untuk skater Olimpiade sehingga melompat skater membuat mengambil keuntungan dari bonus mencetak gol saat melompat ini dilakukan kemudian dalam program ketika kelelahan mulai diatur dalam. Ada juga masalah matematika yang terlibat dalam sistem penilaian untuk beberapa aspek yang kompleks dan subjektif mencetak acara olahraga.

    Namun, besarnya semata-mata jumlah game yang harus dimainkan dalam olahraga liga menciptakan domain besar untuk matematika untuk membantu dalam operasi yang efisien dari olahraga. Ini menjalankan keseluruhan, mulai dari "intelektual" olahraga seperti jembatan, whist, dan catur, olahraga seperti bisbol, sepak bola, basket, sepak bola, dan kriket. Di sini saya akan membatasi diri untuk beberapa matematika menarik penjadwalan olahraga dan beberapa keadilan dan optimalisasi pertanyaan terkait yang menggunakan metode awal yang relatif dasar atau cepat.

     Salah satu cara untuk mendapatkan wawasan lingkungan yang kompleks adalah untuk mengklasifikasikan apa yang dilihat dan mempelajari benda-benda di setiap kategori secara terpisah sebagai cara menyederhanakan hal. Bahkan ada banyak jenis turnamen:

* Turnamen round robin (setiap tim memainkan permainan persis k melawan setiap tim lain (pemain))

Catatan: Sangat sering nilai k = 1 begitu setiap tim atau pemain mendapat bermain tepat satu pertandingan (pertandingan) melawan setiap tim atau pemain lain.

* Turnamen eliminasi (turnamen berlangsung putaran n dimana dalam setiap putaran beberapa pemain dieliminasi dan pemain yang masih hidup yang dipasangkan di putaran depan, di mana lagi merugi dieliminasi)

Catatan: ada varian ini, terutama turnamen eliminasi ganda. Dalam ide ini pecundang dalam berbagai putaran bermain penghapusan terhadap satu sama lain dan, dengan demikian, serangkaian kemudian kemenangan dapat menyebabkan kemenangan akhir.

* Raja bukit (pemain tetap di lapangan selama ia / dia bisa mengalahkan penantang berikutnya)

    Mungkin pertanyaan pertama yang muncul dalam penjadwalan adalah untuk merancang pertandingan yang harus terjadi untuk turnamen round robin. Dalam round robin turnamen tunggal (SRRT) masing-masing tim harus bermain tepat satu pertandingan melawan setiap tim lain. Kami akan mencurahkan apa yang berikut sebagian besar untuk turnamen round robin tunggal. Banyak pertanyaan muncul di mana matematika memberikan wawasan. Pertama, ada masalah penjadwalan. Jika ada 8 tim, apa cara yang efisien untuk jadwal pertandingan yang harus dilakukan? Pertanyaan lain, tentang yang ada literatur yang besar tetapi tidak akan dirawat di sini, adalah bagaimana untuk memutuskan pemenang berdasarkan hasil atau skor yang pemain mencapai. Sebagai contoh, jika seseorang memiliki 8 tim, bisa jumlah kemenangan dari delapan tim di urutan menurun menjadi 6, 5, 5, 4, 4, 2, 2, 0? Pertanyaan tentang peringkat untuk tim di turnamen yang erat terkait dengan isu-isu peringkat kandidat dalam pemilihan atau peringkat pilihan untuk kebijakan ekonomi.

Teori Graph membantu jadwal turnamen

Teori grafik, sebuah cabang dari kombinatorika yang sangat menarik pada ide-ide geometris, menggunakan diagram yang terdiri dari titik-titik dan garis untuk membantu mendapatkan wawasan berbagai masalah matematika. Grafik lengkap n simpul memiliki tepat satu ujung antara setiap pasangan simpul. Grafik ini dilambangkan Kn; Gambar 1 menunjukkan K4 dan Gambar 2 menunjukkan K5.

Grafik lengkap tentang 4 simpul

Gambar 1

Sebuah graf lengkap 5 simpul

Gambar 2

     Dalam setiap kasus simpul dari grafik diberi label dengan nama-nama orang atau tim yang terlibat dalam "turnamen" atau persaingan. Pikirkan simpul (titik) dari graf lengkap sebagai mewakili tim dalam turnamen dan memikirkan tepi bergabung dua tim sebagai pertandingan dimainkan oleh dua tim. Jumlah tepi grafik lengkap dengan n simpul adalah n (n-1) / 2, yang merupakan jumlah pertandingan yang harus dilakukan dalam rangka untuk memiliki masing-masing tim bermain setiap tim lain tepat satu kali. Perhatikan bahwa dalam grafik Kn setiap sudut memiliki n-1 tepi di setiap sudut. Jumlah tepi pada simpul dari grafik ini dikenal sebagai gelar atau valensi.

          Pertimbangkan pertama kasus di mana terdapat 4 tim yang harus bermain satu sama lain. Ini berarti total 4 (3) / 2 = 6 pertandingan harus dimainkan. Pertandingan ini bisa dimainkan di 6 slot waktu, mengatakan satu minggu selama 6 minggu. Namun, mungkin diinginkan jika tempat (kamar, lapangan bermain) untuk pertandingan yang tersedia untuk memiliki beberapa pertandingan per slot waktu dan permainan akan selesai selama periode waktu yang lebih singkat. Dengan demikian, karena ada 4 pemain, dan 4/2 adalah 2, kita bisa mempertimbangkan memiliki dua pertandingan per slot waktu, dan menyelesaikan turnamen dalam tiga minggu daripada 6 minggu. Ketika saya menggunakan fase "slot waktu," ada berbagai kemungkinan tentang bagaimana pertandingan yang benar-benar bermain. Perhatikan bahwa dua pertandingan per slot waktu mungkin berarti bahwa akan ada dua pertandingan pada waktu yang sama atau bahwa game dimainkan di pagi dan sore pada yang sama "pengadilan" dari satu hari. Ada berbagai istilah yang digunakan selain slot waktu, dan yang umum adalah "putaran," yang akan saya gunakan bergantian dengan slot waktu dan Event Window. Gambar 3 menunjukkan rincian tentang bagaimana penjadwalan bisa bekerja.

A 1-faktorisasi K4, grafik lengkap tentang empat simpul

Gambar 3

      Tepi dalam grafik yang memiliki warna yang sama akan terjadi selama satu slot waktu. Dengan demikian, untuk Event Window 1 (ditunjukkan dengan warna biru) akan ada pertandingan antara tim 0 dan tim 3 dan tim 1 dan tim 2; untuk Event Window 2 (ditampilkan dalam warna hitam) kita akan memasangkan tim 0 dan tim 1 dan tim 2 dan tim 3; dan untuk Window Event 3 (ditampilkan dalam warna merah) kita akan memasangkan tim 0 dan tim 2 dan tim 1 dan tim 3.

       Dalam usaha untuk menggunakan ide-ide di atas kami datang ke komplikasi ketika kita mencoba untuk memperpanjang apa yang telah kita lakukan dari 4 tim untuk 5 tim. Sejak 5 adalah angka ganjil kita tidak bisa hanya memiliki semua tim bermain di pasang selama acara Window. Ada cara alami untuk menangani masalah ini. Konsep "bye" dalam olahraga penjadwalan mengacu pada tim tidak harus memainkan pertandingan (game) selama acara Jendela tertentu. Jika seseorang memiliki 5 tim, ada 10 pertandingan (game) yang harus dilakukan untuk turnamen round robin dimana setiap tim memainkan setiap lain. Sejak 5/2 bukan integer, kita tidak bisa bermain 3 game per Acara Jendela tetapi kita bisa bermain game 2 per Acara Window (4 tim bermain) dan menetapkan bye untuk satu tim. Dengan demikian, dalam lima Acara Windows kita bisa menjadwalkan seluruh turnamen. Anda dapat melihat cara jadwal untuk lima acara Windows dapat dibangun dan melihat tim yang memiliki bye di setiap acara Jendela dengan konsultasi Gambar 4.

Sebuah mewarnai tepi K5 dengan 5 warna

Gambar 4

Tepi dalam berbagai warna menandakan yang tim bermain dalam sebuah acara Window. Sebagai contoh, dua tepi kuning memberitahu seseorang dapat memiliki tim 0 dan 3 dan 1 dan 2 bermain satu sama lain dalam acara Jendela tunggal; untuk itu jendela beregu 4 akan mendapatkan bye. Pasangan lain untuk setiap acara Jendela dapat juga ditangani. Perhatikan bahwa ada fleksibilitas yang cukup besar dalam susunan warna ke dalam lima Acara Windows.

Jika koleksi ujungnya memisah dari satu sama lain itu disebut pencocokan. Jika graf G memiliki M pencocokan yang mencakup semua simpul dari grafik, maka M dikatakan pencocokan sempurna. Sebuah kondisi yang diperlukan untuk pencocokan sempurna adalah bahwa jumlah simpul dari grafik menjadi lebih. K4 memiliki matching sempurna sementara K5 tidak. Namun, tidak sulit untuk menemukan contoh, seperti pada Gambar 5, yang memiliki bahkan jumlah simpul, setiap simpul valensi 3 (misalnya 3 tepi di sebuah sudut), tapi untuk yang tidak ada pencocokan sempurna.

Sebuah grafik 3-valent dengan bahkan jumlah tepi tapi ada 1 faktor

Seorang pelopor dalam menggunakan teori graph sebagai alat untuk memecahkan masalah penjadwalan telah Dominique De Werra, yang telah menghabiskan sebagian besar karirnya di Politeknik Universitas Lausanne.

Foto Dominique de Werra

Selama waktu itu ia telah membuat berbagai kontribusi untuk penjadwalan olahraga dan riset operasi pada umumnya. Banyak hasil dasar digambarkan selama tahun 1980-an oleh De Werra. Bunga dalam hal ini telah tumbuh begitu besar sehingga sekarang ada sebuah kelompok diskusi online yang ditujukan untuk masalah penjadwalan olahraga dari kedua sudut pandang praktis dan teoritis.

Nama lain untuk pencocokan sempurna adalah faktor 1. Sebuah k-faktor yang merupakan subgraf dari graf yang mencakup semua simpul dari grafik dan di mana setiap titik di subgraf memiliki valensi (derajat) k. Jadi, ketika grafik memiliki faktor 1, kita bisa memikirkan simpul sebagai tim dan tepi game yang simpul (tim) bergabung dengan sebuah permainan tepi terhadap satu sama lain. Kembali ke situasi penjadwalan olahraga kita, ketika kita memiliki graf lengkap yang memiliki bahkan jumlah simpul, kita bisa bertanya apakah ia memiliki koleksi 1-faktor yang mencakup semua tepi grafik. Pewarnaan yang kami temukan untuk K4 pada Gambar 3 menunjukkan bahwa grafik ini memiliki 1-faktorisasi menjadi tiga 1-faktor. Karena cara khusus kita menarik K4 mungkin tidak jelas bahwa kita dapat terus menemukan 1-faktorisasi grafik lengkap dengan bahkan jumlah simpul. Untuk melihat berbeda dalam suggestiveness gambar yang berbeda, melihat gambar ini K4 (Gambar 6).

Menggambar K4 yang menekankan kelas paralel

Gambar 6

Dalam versi ini kita dapat melihat bahwa tepi warna yang berbeda dapat diartikan sebagai dalam "kelas paralel." Meskipun tepi 02 dan 13, yaitu hitam, tampak bertemu, mereka bertemu di suatu titik yang bukan merupakan titik sehingga kita akan berpikir gambar ini sebagai memiliki tiga kelas paralel. Satu dapat, pada kenyataannya, menafsirkan diagram ini sebagai pesawat affine terbatas dengan 4 poin. Setiap baris dari pesawat memiliki dua titik di atasnya. Ada enam jalur dan 3 baris melalui setiap titik.

Sekarang kita beralih ke turnamen round robin dengan 6 tim (Gambar 7). Lima belas pertandingan yang harus dimainkan. Karena ada 6 pemain ini berarti memiliki 3 pertandingan per Acara Jendela untuk 15/3 = 5 Acara Windows.

Sebuah gambar K6

Gambar 7

Mengingat apa yang terjadi selama empat tim sangat menggoda untuk mengambil tepi batas 01 pada Gambar 7 dari segi enam biasa ditampilkan, dan membangun pencocokan dengan menggunakan tepi yang tidak memenuhi tepi ini (yang sejajar dengan itu, seolah-olah ). Jika kita melakukan ini, kita mendapatkan game: 01, 25, dan 34. Prosiding sekitar batas kita mendapatkan dua kelompok pertandingan: 12, 03, 45, dan 23, 14, 05. Hal ini tampaknya membawa kami ke sebuah baik mulai. Ada 6 tepi tersisa sehingga harapan kami adalah untuk kelompok ini ke dalam dua set ukuran 3. Namun, sayangnya enam tepi yang tetap bentuk dua segitiga menguraikan: tepi 02, 24, 04 dan 13, 15, 35. Sekarang karena kita tidak bisa memilih dua sisi memisah dari salah satu dari segitiga ini kita mencapai jalan buntu. Tidak ada cara kita dapat mengambil kelompok awal kami tim untuk pertama tiga jendela waktu dan memperluas hasil untuk dua jendela waktu lagi! Meskipun matematikawan suka alasan dengan analogi dan mencoba untuk menerapkan prinsip-prinsip sederhana untuk memecahkan masalah di tangan, kadang-kadang analogi tidak mungkin tahan, seperti yang kita lihat dalam kasus ini.

Namun, kita tidak akan putus asa. Mungkin kita bisa mencoba beberapa cara sistematis alternatif untuk menjadwalkan 6 tim dalam turnamen round robin. Berikut adalah metode yang bekerja dan generalizes. Di sini kita nomor tim dari 1 sampai n bukan dari 0 sampai n-1. Kami akan mempertimbangkan hanya kasus dengan bahkan sejumlah tim, karena ketika ada ganjil tim, sebagaimana telah dijelaskan kita dapat menambahkan tim fiksi dan setiap kali tim yang sesungguhnya diminta untuk memainkan tim fiksi, tim sebenarnya memiliki bye.

Pertimbangkan kasus dengan 6 tim. Membangun sebuah tabel awal dengan paruh pertama tim yang terdaftar secara berurutan pada baris pertama dan paruh terakhir tim yang terdaftar dalam urutan terbalik di baris berikutnya. Tim yang berbaris di meja akan bermain di babak pertama.

Putaran 1:

1 2 3

6 5 4

Kita bisa menggunakan grafik di bawah ini untuk memvisualisasikan apa yang sedang terjadi. Tepi 1 sampai 6 ditunjukkan secara vertikal dalam diagram di mana vertex 1 ditempatkan di "pusat" dari pentagon biasa dan angka 2 dan 3 terdaftar searah jarum jam mulai dari 1, sedangkan angka 5 dan 4 ditunjukkan berlawanan mulai 6. Pada diagram menunjukkan tepi yang membentuk sisi biasa cembung pentagon dihilangkan. Hanya tepi yang membentuk pasangan dalam satu putaran untuk tim yang akan ditampilkan. Tepi lain dari pencocokan (selain pasangan dari 1 dan 6, ditampilkan dalam warna merah) akan ditampilkan secara horizontal dengan warna biru. (Dua warna yang digunakan untuk menyoroti peran yang berbeda dari tepi vertikal dan horizontal pada diagram. Namun, dalam partisi dari grafik yang lengkap pada 6 titik menjadi 3 tepi menguraikan, ketiga ujungnya akan berada di satu kelas warna.) Karena ada adalah 5 putaran masing-masing dengan 3 tepi kita dapat menjelaskan semua 15 tepi dalam grafik lengkap pada 6 titik.

Sebuah cocok di K6

Gambar 8

a

Untuk sampai ke pasangan untuk putaran berikutnya kita akan memperbaiki tim pertama dalam sel di baris pertama dan kolom pertama tapi memikirkan semua tim lain berada di kalung pada seutas tali yang tercantum dalam arah jarum jam: 2, 3, 4, 5, dan 6. Sekarang memutar kalung satu posisi searah jarum jam dan merekam masukan ke tabel baru: 6, 2, 3, 4, 5. Kami sedang berpikir untuk 2 sebagai di bagian atas jam, sehingga setelah rotasi entri terakhir dalam daftar adalah sekarang di bagian atas jam